Friedrich Zehm wurde am 22. Januar 1923 in Neusalz an der Oder geboren. 1941 begann er ein Musikstudium am Mozarteum in Salzburg bei Walther Lampe (Klavier) und Friedrich Frischenschlager (Theorie). Ab 1948 setzte Zehm seine Studien an der Musikhochschule Freiburg/ Breisgau fort, Harald Genzmer (Komposition) und Edith Picht-Axenfeld (Klavier) waren hier prägende Lehrer.
Von 1963 bis 1985 wirkte Friedrich Zehm als Lektor und Redakteur im Schott-Verlag; in dieser Zeit lehrte er auch Tonsatz im Fachbereich Musikerziehung der Universität Mainz (1980 bis 1982). Ab 1985 lebte Zehm als freischaffender Komponist in Wiesbaden, wo er am 4. Dezember 2007 verstarb.