Fritz Heinrich Klein war österreichischer Komponist und wurde am 2. Februar 1892 in Budapest geboren. Im Herbst 1917 begann er mit dem Studium bei Arnold Schönberg, das er ein Jahr später bei Alban Berg fortsetzte. In den folgenden Jahren verfaßte Klein die Klavierauszüge von Bergs Oper "Wozzeck" und seinem Kammerkonzert.
Im Jahr 1921 entdeckte Klein den "Mutterakkord" (= der erste entdeckte "zwölfverschiedentönige und zugleich zwölfverschiedenintervallige Akkord"), den er auch in seiner extonalen Selbstsatire "Die Maschine", op. 1, verwendete.
"Die Maschine" wurde zum ersten gedruckten Zwölftonwerk der Musikliteratur, die Uraufführung erlebte sie im Jahre 1924 in New York. Mit dieser Komposition wurde Klein zum Wegbereiter für die serielle Musik. Er selbst bezeichnete sein Opus 1 mit den Worten "Diesen Grenzstein - meiner Zeit" und kehrte zur Tonalität zurück.
1924 übersiedelte Klein nach Linz, wo er von 1932 bis 1957 am Brucknerkonservatorium als Hauptfachlehrer (Komposition, Theorie) unterrichtete.
Fritz Heinrich Klein starb am 12. Juli 1977 in Linz.